Question

16．定義在R上的函數(shù)f（x）及其導函數(shù)f′（x）的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數(shù)a，b（a＜b），有f′（a）＞0，f′（b）＜0．現(xiàn)給出如下結(jié)論：
①?x₀∈[a，b]，f（x₀）=0；
②?x₀∈[a，b]，f（x₀）＞f（b）；
③?x₀∈[a，b]，f（x₀）≥f（a）；
④?x₀∈[a，b]，f（a）-f（b）=f'（x₀）（a-b）．
其中結(jié)論正確的個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 定義在R上的函數(shù)f（x）導函數(shù)f′（x）的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，且對于實數(shù)a，b （a＜b）有f′（a）＞0，f′（b）＜0，可知：存在c，滿足：a＜c＜b，f′（c）=0；函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，c）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（c，b）上單調(diào)遞減．進而即可判斷出．

解答 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）導函數(shù)f′（x）的圖象都是連續(xù)不斷的曲線，
且對于實數(shù)a，b （a＜b）有f′（a）＞0，f′（b）＜0，∴存在c，滿足：a＜c＜b，f′（c）=0．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，c）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（c，b）上單調(diào)遞減．
①?x₀∈[a，b]，f（x₀）=0不一定正確；
②?x₀∈[a，b]，可知x₀∈（c，b），且f（x₀）＞f（b），正確；
③?x₀∈[a，b]，若x₀∈（c，b]，則可能f（x₀）＜f（a），不一定正確；
④?x₀∈[a，b]，f（a）-f（b）＞f′（x₀）（a-b）正確，
若 $\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$＞0，而x₀∈（c，b]，f′（x₀）＜0．因此正確．
綜上可知：只有②④正確．
故選：B．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、零點、割線的斜率，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于難題．