Question

16．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$，g（x）=ax-3．
（1）當a=l時，確定函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）若對任意x∈[0，4]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x）成立，求 實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意：當a=l時，確定函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x+3．判斷x在（0，+∞）上$\sqrt{{x}^{2}+9}$與x的大小可得單調(diào)性．
（2）求解x∈[0，4]上函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$的值域M，x₀∈[-2，2]上，對a討論函數(shù)g（x）=ax-3的值域N，
根據(jù)M⊆N，可得實數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意：當a=l時，確定函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）=）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$-x+3．
∵x∈（0，+∞）
則$\sqrt{{x}^{2}+9}-x$=$\sqrt{{x}^{2}+9}-\sqrt{{x}^{2}}$＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）由題意：x∈[0，4]上函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+9}$的值域M=[3，5]，
設函數(shù)g（x）=ax-3的值域N．
∵x₀∈[-2，2]，g（x）=ax-3．
當a=0時，g（x）=-3，即值域N={-3}，
∵M⊆N，
∴不滿足題意．
當a＞0時，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為增函數(shù)，其值域N=[-2a-3，2a-3]，
∵M⊆N，
∴需滿足$\left\{\begin{array}{l}{-2a-3≤3}\\{2a-3≥5}\end{array}\right.$，
解得：a≥4．
當a＜0時，函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)為減函數(shù)，其值域N=[2a-3，-2a-3]，
∵M⊆N，
∴需滿足$\left\{\begin{array}{l}{2a-3≤3}\\{-2a-3≥5}\end{array}\right.$
解得：a≤-4．
綜上所得：對任意x∈[0，4]，總存在x₀∈[-2，2]，使得g（x₀）=f（x）成立，
實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-4]∪[4，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性的判斷和討論單調(diào)性求解值域來解決恒成立問題．屬于中檔題．