Question

13．拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，拋物線C上點M的橫坐標(biāo)為1，且|MF|=$\frac{5}{4}$．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過焦點F作兩條相互垂直的直線，分別與拋物線C交于M、N和P、Q四點，求四邊形MPNQ 面積的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用拋物線的定義直接求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過焦點F作兩條相互垂直的直線，設(shè)MN：x=my+$\frac{1}{4}$，PQ：x=-$\frac{1}{m}$y+$\frac{1}{4}$（m≠0），聯(lián)立直線與拋物線方程組成方程組，利用弦長公式，求出MN，PQ，推出四邊形MPNQ的面積的表達(dá)式，利用基本不等式求四邊形MPNQ面積的最小值．

解答 解：（Ⅰ）由已知：1+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{4}$，∴p=$\frac{1}{2}$
故拋物線C的方程為：y²=x…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：F（$\frac{1}{4}$，0）
設(shè)MN：x=my+$\frac{1}{4}$，PQ：x=-$\frac{1}{m}$y+$\frac{1}{4}$（m≠0）…（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+\frac{1}{4}}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$得：y²-my-$\frac{1}{4}$=0
∵△=m²+1＞0
∴|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}•\sqrt{{m}^{2}+1}$=m²+1…（8分）
同理：|PQ|=$\frac{1}{{m}^{2}}$+1…（10分）．
∴四邊形MPNQ的面積：S=$\frac{1}{2}$（m²+1）（$\frac{1}{{m}^{2}}$+1）=$\frac{1}{2}$（2+$\frac{1}{{m}^{2}}$+m²）≥2
（當(dāng)且僅當(dāng)m=±1時等號成立）
∴四邊形MPNQ的面積的最小值為2．…（12分）

點評 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，四邊形面積的最值以及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．