如圖長度為2的線段AB夾在直二面角的兩個(gè)半面內(nèi),,且AB與平面所成的角都是30°,AC⊥l,垂足為C,BD⊥l,垂足為D。
(1)求直線AB與CD所成角的大。
(2)求二面角C―AB―D的平面角的余弦值。
解法一:
(1)由于且AC⊥l,則AC⊥,以C
為原點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。
因?yàn)锳B=2,
AB與平面所成的角都是30°,且AC⊥l于C,
BD⊥l于D,則AC=1,BD=1。AD=,
所以A(0,0,1)、M(1,-,0)、C(0,0,0)、
D(0,-,0)(2分)
故直線AB與CD所成角為45°。
(2)設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量
由
取
設(shè)平面ABD的一個(gè)法向量為
由
取
由
故二面角C―AB―D的平面角的余弦值為
解法二:
(1)在平面內(nèi)過點(diǎn)B作BE//DC,BE=DC,連結(jié)CE,EA,BC,AD,則四邊形BECD是矩形。
所以∠ABE就是直線AB與CD所成角。
∵AB=2,⊥,AC⊥l,AC
∴AC⊥
∴∠ABC=30°。
∴AC=1,同理BD=1。
∴CE=1,AE=
∵CE⊥BE,
∴AE⊥BE。
在Rt△AEB中,sin∠ABE=
∴∠ABE=45°.
∴直線AB與CD所成角的大小為45°
(2)∵AC⊥,AC平面ABC。
∴平面BAC⊥平面BDC,且交線是BC,
過點(diǎn)D作DF⊥BC,垂足為F,則DF⊥平面BAC,
過F作FG⊥AB,垂足為G,連結(jié)DG,則DG⊥AB,
故∠DGF就是二面角C―AB―D的平面角。
在Rt △ACB中,BC=
在Rt △BDC中,DC=
在Rt△BGF中,F(xiàn)G=BF
在Rt△DFG中,DG
故二面角C―AB―D的平面角的余弦值為
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AB |
AO |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:天利38套《2009高考模擬試題匯編附加試題》、數(shù)學(xué)理科 題型:044
如圖長度為2的線段AB夾在直二面角α-l-β的兩個(gè)半平面內(nèi),A∈α,B∈β,且AB與平面α,β所成的角都是30°,AC⊥l,垂足為C,BD⊥l,垂足為D.
(Ⅰ)求直線AB與CD所成角的大小;
(Ⅱ)求二面角C-AB-D的平面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2006年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一模試卷(解析版) 題型:解答題
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