Question

18．已知函數f（x）=lnx，g（x）=$\frac{a}{x}$（a＞0），設F（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函數F（x）的單調區(qū)間；
（2）若以函數y=F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求實數a的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出F（x）的導數，由導數大于0，可得增區(qū)間；導數小于0，可得減區(qū)間，注意定義域（0，+∞）；
（2）求出導數，由導數的幾何意義可得$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（0＜x₀≤3）恒成立?a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，運用二次函數的最值求法，即可得到最大值，進而得到a的最小值．

解答 解：（1）F（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（x＞0），F′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，a＞0，
當x＞a，F′（x）＞0，f（x）在（a，+∞）單調遞增，
當0＜x＜a，F′（x）＜0，F（x）在（0，a）單調遞減，
則F（x）的增區(qū)間為（a，+∞），減區(qū)間為（0，a）；
（2）由y′=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，a＞0（0＜x≤3），
k=y′|${\;}_{x={x}_{0}}^{\;}$=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（0＜x₀≤3）恒成立?a≥（-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀）_max，
當x₀=1時，-$\frac{1}{2}$x₀²+x₀ 取得最大值$\frac{1}{2}$，
∴a≥$\frac{1}{2}$，
∴a_min=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查函數恒成立問題，考查化歸思想的綜合運用，屬于中檔題．