Question

9．若變量x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6≤0}\\{x-y+3≥0}\\{x≥1}\end{array}\right.$，目標(biāo)函數(shù)z=2ax+by（a＞0，b＞0）取得最大值的是6，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為7+4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，確定z取最大值點的最優(yōu)解，利用基本不等式的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=2ax+by（a＞0，b＞0）得y=-$\frac{2a}$x+$\frac{k}$，
則直線的斜率k=-$\frac{2a}$＜0，截距最大時，z也最大．
平移直y=-$\frac{2a}$+$\frac{k}$，由圖象可知當(dāng)直線y=-$\frac{2a}$+$\frac{k}$經(jīng)過點A時，
直線y=-$\frac{2a}$+$\frac{k}$截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-6=0}\\{x-y+3=0}\end{array}\right.$，解得x=9，y=12
即A（9，12），
此時z=18a+12b=6，
即3a+2b=1，
∴$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（3a+2b）=3+4+$\frac{2b}{a}$+$\frac{6a}$
≥7+2$\sqrt{\frac{2b}{a}•\frac{6a}}$=7+4$\sqrt{3}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=$\sqrt{3}$a時，取等號，
故$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為7+4$\sqrt{3}$，
故答案為：7+4$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義先求出最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵，利用基本不等式的解法和結(jié)合數(shù)形結(jié)合是解決本題的突破點．