Question

18．某商家在網(wǎng)上銷售一種商品，從該商家的銷售數(shù)據(jù)中抽取6天的價格與銷量的對應(yīng)數(shù)據(jù)，如下表所示：

價格x（百元）	4	5	6	7	8	9
銷量y（件/天）	90	84	83	80	75	68

（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)，看出可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，試求y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并預(yù)測當(dāng)價格為1000元時，每天的商品的銷量為多少；
（Ⅱ）若以從這6天中隨機抽取2天，至少有1天的價格高于700元的概率作為客戶A，B購買此商品的概率，而客戶C，D購買此商品的概率均為$\frac{1}{2}$，設(shè)這4位客戶中購買此商品的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：$\sum_{i=1}^{6}$x_iy_i=3050，$\sum_{i=1}^{6}$x${\;}_{i}^{2}$=271．
參考公式：$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出回歸系數(shù)，可得y關(guān)于x的線性回歸方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}$x+$\stackrel{∧}{a}$，并預(yù)測當(dāng)價格為1000元時，每天的商品的銷量為多少；
（Ⅱ）由題意可知：X=0，1，2，3，4．求出相應(yīng)的概率，可得X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\overline{x}$=6.5，$\overline{y}$=80，
$\stackrel{∧}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{3050-6×6.5×80}{271-6×6．{5}^{2}}$=-4，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}$$\overline{x}$=80-（-4）×6.5=106，
∴$\stackrel{∧}{y}$=-4x+106，
x=10時，$\stackrel{∧}{y}$=-40+106+66，即預(yù)測當(dāng)價格為1000元時，每天的商品的銷量為66件；
（Ⅱ）從6天中隨機抽取2天的選法有${C}_{6}^{2}$=15種，
至少有1天的價格高于700元的選法有${C}_{4}^{1}{C}_{2}^{1}+{C}_{2}^{2}$=9種，∴概率為$\frac{9}{15}$=$\frac{3}{5}$．
由題意，X=0.1.2.3.4．
P（X=0）=（1-0.6）²×（1-0.5）²=0.04，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}$×（1-0.6）×（1-0.5）²+${C}_{2}^{1}$×（1-0.6）²×0.5×（1-0.5）=0.2，
P（X=2）=${C}_{2}^{1}$×0.6×${C}_{2}^{1}$×0.5×（1-0.5）+0.6²×（1-0.5）²+（1-0.6）²×0.5²=0.37，
P（X=3）=${C}_{2}^{1}$×0.6×（1-0.6）×0.5²+${C}_{2}^{1}$×0.6²×0.5×（1-0.5）=0.3，
P（X=4）=0.6²×0.5²=0.09．
X的分布列

X	0	1	2	3	4
P	0.04	0.2	0.37	0.3	0.09

故E（X）=0×0.04+1×0.2+2×0.37+3×0.3+4×0.09=2.2．

點評 本題考查了獨立性檢驗知識的運用，考查分布列及數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題．