Question

19．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率是$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且過點(diǎn)$P（\sqrt{2}，1）$．直線y=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面積的最大值；
（Ⅲ）設(shè)直線PA，PB分別與y軸交于點(diǎn)M，N．判斷|PM|，|PN|的大小關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的離心率公式，求得a²=2b²，將P代入橢圓方程，即可求得a和b的值；
（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，求得m的取值范圍，利用韋達(dá)定理，弦長公式，根二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求得△PAB的面積的最大值；
（Ⅲ）設(shè)直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₁，根據(jù)韋達(dá)定理和直線的斜率公式求得k₁+k₂=0，則∠PMN=∠PNM，則丨PM丨=丨PN丨．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的半焦距為c，
由橢圓C的離心率是e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，即a²=2b²，[（1分）]
將點(diǎn)$P（\sqrt{2}，1）$代入橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{2^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$．  解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{^{2}=2}\end{array}\right.$，[（3分）]
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；．[（4分）]
（Ⅱ）由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\end{array}\right.$，消去y，整理得x²+$\sqrt{2}$mx+m²-2=0．[（5分）]
令△=2m²-4（m²-2）＞0，解得-2＜m＜2．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=-$\sqrt{2}$m，x₁x₂=m²-2．
∴丨AB丨=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{3}$•$\sqrt{4-{m}^{2}}$，[（6分）]
點(diǎn)$P（\sqrt{2}，1）$．到直線x-$\sqrt{2}$y+$\sqrt{2}$m=0的距離為d=$\frac{丨\sqrt{2}-\sqrt{2}+\sqrt{2}m丨}{\sqrt{1+（\sqrt{2}）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}丨m丨}{\sqrt{3}}$．[（7分）]
∴△PAB的面積S=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$丨m丨•$\sqrt{4-{m}^{2}}$，
=$\frac{\sqrt{2}}{2}$$\sqrt{-（{m}^{2}-2）^{2}+4}$≤$\sqrt{2}$，[（8分）]
當(dāng)且僅當(dāng)m=±$\sqrt{2}$時，S=$\sqrt{2}$．
則△PAB的面積的最大值$\sqrt{2}$；[（9分）]
（Ⅲ）丨PM丨=丨PN丨．證明如下：[（10分）]
設(shè)直線PA，PB的斜率分別是k₁，k₁，
則k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-\sqrt{2}}$+$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{2}-\sqrt{2}}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-\sqrt{2}）+（{y}_{1}-1）（{x}_{1}-\sqrt{2}）}{（{x}_{1}-\sqrt{2}）（{x}_{2}-\sqrt{2}）}$，[（11分）]
由（Ⅱ）得（y₁-1）（x₂-$\sqrt{2}$）+（y₂-1）（x₁-$\sqrt{2}$），
=（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x₁+m-1）（x₂-$\sqrt{2}$）+（$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$x₁+m-1）（x₁-$\sqrt{2}$），
=$\sqrt{2}$x₁x₂+（m-2）（x₁+x₂）-2$\sqrt{2}$（m-1），
=$\sqrt{2}$（m²-2）+（m-2）（-$\sqrt{2}$m）-2$\sqrt{2}$（m-1）=0，
∴直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)．[（13分）]
∴∠1=∠2，
∴∠PMN=∠PNM．
∴丨PM丨=丨PN丨．[（14分）]

點(diǎn)評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長公式，考查橢圓與二次函數(shù)取值最值的綜合應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題．