Question

16．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），已知以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，射線l的極坐標(biāo)方程為θ=α（ρ≥0）（注：本題限定：ρ≥0，θ∈[0，2π））
（1）把橢圓C的參數(shù)方程化為極坐標(biāo)方程；
（2）設(shè)射線l與橢圓C相交于點(diǎn)A，然后再把射線l逆時(shí)針90°，得到射線OB與橢圓C相交于點(diǎn)B，試確定$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$是否為定值，若為定值求出此定值，若不為定值請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），利用三角函數(shù)基本關(guān)系式可得：橢圓C的普通方程．把 $\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入直角坐標(biāo)方程可得極坐標(biāo)方程．
（2）由（1）得橢圓的極坐標(biāo)方程可化為$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$．由已知可得：在極坐標(biāo)下，可設(shè)$A（{{ρ_1}，α}），B（{{ρ_2}，α+\frac{π}{2}}）$，分別代入$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$中：可得$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{1+{{sin}^2}α}}{2}$，$\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{1+{{cos}^2}α}}{2}$．即可得出．

解答 解：（1）∵橢圓C的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}}\right.$（θ為參數(shù)），
∴橢圓C的普通方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
把 $\left\{{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}}\right.$代入直角坐標(biāo)方程可得：$\frac{{{ρ^2}{{cos}^2}θ}}{2}+{ρ^2}{sin^2}θ=1$，化為：ρ²+ρ²sin²θ=2．
（2）由（1）得橢圓的極坐標(biāo)方程可化為$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$，
由已知可得：在極坐標(biāo)下，可設(shè)$A（{{ρ_1}，α}），B（{{ρ_2}，α+\frac{π}{2}}）$，
分別代入$ρ=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}θ}}}$中：
有${ρ_1}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{sin}^2}α}}}$，${ρ_2}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{1+{{cos}^2}α}}}$，
∴$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}=\frac{{1+{{sin}^2}α}}{2}$，$\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{{1+{{cos}^2}α}}{2}$．
則$\frac{1}{{{ρ_1}^2}}+\frac{1}{{{ρ_2}^2}}=\frac{3}{2}$即$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}=\frac{3}{2}$．
故$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OB}|}^2}}}$為定值$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、極坐標(biāo)的應(yīng)用、三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．