Question

1．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1+sin2x，sinx-cosx），$\overrightarrow$=（1，sinx+cosx），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的最大值及取得最大值相應(yīng)的x的集合．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），結(jié)合三角恒等變換即可求出f（x）的最小正周期，
（2）利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出f（x）的最大值及取得最大值相應(yīng)的x的集合．

解答 解：f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=（1+sin2x）+（sin²x-cos²x）
=1+sin2x-（cos²x-sin²x）
=1+sin2x-cos2x
=$\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+1$；
（1）f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$；
（2）當(dāng)sin（2x-$\frac{π}{4}$）=1時(shí)，f（x）取得最大值為$f{（x）_{max}}=\sqrt{2}+1$；
由$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$，得$2x=\frac{3π}{4}+2kπ，k∈Z$，
即$x=\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z$；
所以f（x）取得最大值時(shí)x的集合為$\{x|x=\frac{3π}{8}+kπ，k∈Z\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了平面向量的數(shù)量積與三角恒等變換的應(yīng)用問題，是中檔題目．