Question

8．若關(guān)于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根α，β，求實數(shù)a的取值范圍及相應的α+β的值．

Answer 1

分析 由sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0，得sinx+$\sqrt{3}$cosx=-a，畫出函數(shù)y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=$2sin（x+\frac{π}{3}）$的圖象，數(shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：由sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0，得sinx+$\sqrt{3}$cosx=-a，
令y=sinx+$\sqrt{3}$cosx=$2sin（x+\frac{π}{3}）$，
∵x∈（0，2π），∴x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{7π}{3}$），
作出函數(shù)$y=2sin（x+\frac{π}{3}）$的圖象如圖：
若關(guān)于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx+a=0在（0，2π）內(nèi)有兩個不同的實數(shù)根α，β，
則-2$＜-a＜\sqrt{3}$，或$\sqrt{3}＜-a＜2$，
即$-2＜a＜-\sqrt{3}$或$-\sqrt{3}＜a＜2$．
當a∈（-2，-$\sqrt{3}$）時，$α+β=\frac{π}{3}$；
當a∈（-$\sqrt{3}$，2）時，$α+β=\frac{7π}{3}$．

點評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應用，考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，訓練了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．