【題目】如圖l,在邊長為2的菱形中,,于點(diǎn),將沿折起到的位置,使,如圖2.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)在線段上是否存在點(diǎn),使平面平面?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2);(3).
【解析】
(1)由,可得,結(jié)合可得到平面,由此得,結(jié)合利用線面垂直的判定定理可得結(jié)果;(2)以為原點(diǎn),分別以,,為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量垂直數(shù)量積為零列方程求出平面的法向量,結(jié)合平面的法向量為,利用空間向量夾角余弦公式可得結(jié)果;(3)假設(shè)在線段上存在一點(diǎn)滿足條件,設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo),結(jié)合對應(yīng)的比例關(guān)系,通過兩平面法向量的數(shù)量積為零來確定相應(yīng)的參數(shù)值,進(jìn)而得以確定存在性問題.
(1)因?yàn)?/span>,,,
所以平面,
因?yàn)?/span>平面,
所以,
又因?yàn)?/span>,,
所以平面BCDE.
(2)以E為原點(diǎn),分別以EB,ED,為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,
所以,,
設(shè)平面的法向量,
由得,
令,得,
因?yàn)?/span>平面,
所以平面的法向量,
,
因?yàn)樗蠖娼菫殇J角,
所以二面角的余弦值為.
(3)假設(shè)在線段BD上存在一點(diǎn)P,使得平面平面,
設(shè),,則,
所以,
所以,,
設(shè)平面的法向量,
由,得,
令,得,
因?yàn)槠矫?/span>平面,
所以,解得,
所以在線段BD上存在點(diǎn)P,使得平面平面,且.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)有極值.
(1)求的取值范圍;
(2)若在處取得極值,且當(dāng)時(shí),恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓()的左、右焦點(diǎn)為,右頂點(diǎn)為,上頂點(diǎn)為.已知.
(1)求橢圓的離心率;
(2)設(shè)為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn),以線段為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn),經(jīng)過原點(diǎn)的直線與該圓相切,求直線的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,點(diǎn)滿足,記點(diǎn)的軌跡為.斜率為的直線過點(diǎn),且與軌跡相交于兩點(diǎn).
(1)求軌跡的方程;
(2)求斜率的取值范圍;
(3)在軸上是否存在定點(diǎn),使得無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動,總有成立?如果存在,求出定點(diǎn);如果不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}滿足,且.
(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的幾何體中,四邊形是正方形,四邊形是梯形,∥,,平面平面,且.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的大;
(Ⅲ)已知點(diǎn)在棱上,且異面直線與所成角的余弦值為,求線段的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四面體ABCD中,平面DAC⊥底面ABC,,AD=CD=,O是AC的中點(diǎn),E是BD的中點(diǎn).
(1)證明:DO⊥底面ABC;
(2)求二面角D-AE-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與軸的交點(diǎn)為,與的交點(diǎn)為,且.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)設(shè)過定點(diǎn)的直線與拋物線交于,兩點(diǎn),連接并延長交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn),當(dāng)直線恰與拋物線相切時(shí),求直線的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4cos ωx·sin+a(ω>0)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,且圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為π.
(1)求a和ω的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
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