Question

15．已知函數(shù)f（x）=xlnx+$\frac{1}{2}$mx²-（m+1）x+1．
（1）若g（x）=f'（x），討論g（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）在x=1處取得極小值，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論m的范圍，判斷是否滿足f'（1）=0，從而求出m的范圍即可．

解答 解：（1）$g（x）=f'（x）=1+lnx+mx-（{m+1}）（{x＞0}），g'（x）=\frac{1}{x}+m=\frac{1+mx}{x}$．
①m=0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
②m＞0時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
③m＜0時(shí)，令 g'（x）=0，得$x=-\frac{1}{m}$，所以當(dāng)$x∈（{0，-\frac{1}{m}}）$時(shí)，g'（x）＞0；
當(dāng)$x∈（{-\frac{1}{m}，+∞}）$時(shí)，g'（x）＜0，所以g（x）在$（{0，-\frac{1}{m}}）$上單調(diào)遞增，在$（{-\frac{1}{m}，+∞}）$上單調(diào)遞減，
綜上所述，m≥0時(shí)，g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
m＜0時(shí)，g（x）在$（{0，-\frac{1}{m}}）$上單調(diào)遞增，在$（{-\frac{1}{m}，+∞}）$上單調(diào)遞減．
（2）f'（x）=lnx+m（x-1），
當(dāng)m≥0時(shí)，f'（x）單調(diào)遞增，恒滿足f'（1）=0，且在x=1處單調(diào)遞增，
當(dāng)m＜0時(shí)，f'（x）在$（{0，-\frac{1}{m}}）$單調(diào)遞增，故$-\frac{1}{m}＞1$，即-1＜m＜0；
綜上所述，m取值范圍為（-1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，是一道中檔題．