Question

3．已知S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和，a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，若關(guān)于正整數(shù)n的不等式a_n²-ta_n≤2t²的解集中的整數(shù)解有兩個，則正實數(shù)T的取值范圍為[1，$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 由2S_n=（n+1）a_n，n≥2時，2S_n-1=na_n-1，則2a_n=2（S_n-S_n-1），整理得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，則$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$═…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，可得：a_n=n．不等式a_n²-ta_n≤2t²，化為：（n-2t）（n+t）≤0，t＞0，0＜n≤2t，關(guān)于正整數(shù)n的不等式a_n²-ta_n≤2t²的解集中的整數(shù)解有兩個，即可得出正實數(shù)t的取值范圍．

解答 解：∵a₁=1，2S_n=（n+1）a_n，
∴n≥2時，2S_n-1=na_n-1，
∴2a_n=2（S_n-S_n-1）=（n+1）a_n-na_n-1，整理得：$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$═…=$\frac{{a}_{2}}{2}$=$\frac{{a}_{1}}{1}$=1，
∴a_n=n．
不等式a_n²-ta_n≤2t²，化為：（n-2t）（n+t）≤0，t＞0，
∴0＜n≤2t，
關(guān)于正整數(shù)n的不等式a_n²-ta_n≤2t²的解集中的整數(shù)解有兩個，
可知n=1，2．
∴1≤t＜$\frac{3}{2}$，
故答案為：[1，$\frac{3}{2}$）．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系、不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．