Question

18．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=2log₂a_n-1，求數(shù)列$\{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列遞推關系、等比數(shù)列與等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）利用裂項求和方法即可得出．

解答 解：（1）因為S_n=2a_n-a₁，所以a_n=S_n-S_n-1（n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2），即數(shù)列{a_n}是以2為公比的等比數(shù)列，
又a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，所以a₁+a₃=2（a₂+1），即a₁+4a₁=2（2a₁+1），解得a₁=2，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式為${a_n}={2^n}$．
（2）由（1）得b_n=2log₂a_n-1=2n-1，因為$\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}=\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
所以${T_n}=\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）=\frac{n}{2n+1}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式與求和公式、數(shù)列遞推關系、裂項求和方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．