Question

3．在數(shù)列{a_n}中，若存在非零整數(shù)T，使得a_n+T=a_m對(duì)于任意的正整數(shù)m均成立，那么稱數(shù)列{a_n}為周期數(shù)列，其中T叫做數(shù)列{a_n}的周期，若數(shù)列x_n滿足x_n+1=|x${\;}_{{n}_{\;}}$-x_n-1|（n≥2，n∈N），如x₁=1，λ₂=a（a∈R，a≠0），當(dāng)數(shù)列x_n的周期最小時(shí)，該數(shù)列的前2015項(xiàng)的和是1343a+1（a≥1）．

Answer 1

分析 ①若其最小周期為1，則該數(shù)列是常數(shù)列，即每一項(xiàng)都等于1，此時(shí)a=1，而該數(shù)列的項(xiàng)分別為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此時(shí)該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，矛盾，舍去．②若其最小周期為2，同理得出矛盾，舍去．綜上所述，當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時(shí)，其最小周期是3，即可得出．

解答 解：①若其最小周期為1，則該數(shù)列是常數(shù)列，即每一項(xiàng)都等于1，此時(shí)a=1，
而該數(shù)列的項(xiàng)分別為1，1，0，1，1，0，1，1，0，…，即此時(shí)該數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，矛盾，舍去．
②若其最小周期為2，則有a₃=a₁，即|a-1|=1，a-1=1或-1，a=2或a=0，又a≠0，故a=2，
此時(shí)該數(shù)列的項(xiàng)依次為1，2，1，1，0，…，由此可見，此時(shí)它并不是以2為周期的數(shù)列，舍去．
綜上所述，當(dāng)數(shù)列{x_n}的周期最小時(shí)，其最小周期是3．
（i）a≥1時(shí)，a₁=1，a₂=a，a₃=|a-1|=a-1，a₄=|a-1-a|=1，a₅=a，…，此時(shí)該數(shù)列的前2 015項(xiàng)和是671×（1+a+a-1）+（1+a）=1343a+1．
（ii）a＜1，a≠0時(shí)，a₁=1，a₂=a，a₃=|a-1|=1-a，a₄=|1-a-a|=1，解得a=0或1，舍去．
故答案為：1343a+1（a≥1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的周期性、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．