Question

8．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），且f（-2）=f（-1）=-1，f（0）=2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2015）=-2．

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），可以確定函數(shù)f（x）的周期為3，利用條件求出函數(shù)一個周期內(nèi)的函數(shù)值的和，即可求得f（1）+f（2）+…+f（2015）的值．

解答 解：∵f（x）=-f（x+$\frac{3}{2}$），即f（x+$\frac{3}{2}$）=-f（x），
∴f（x+3）=-f（x+$\frac{3}{2}$）=f（x），
故函數(shù)f（x）為周期函數(shù)，且周期為3，
∵f（0）=2，f（-2）=f（-1）=-1
f（1）=f（-2+3）=f（-2）=-1，f（2）=f（-3+2）=f（-1）=-1，
∴f（1）+f（2）+f（3）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2015）=671×[f（1）+f（2）+f（3）]+f（1）+f（2）=671×0-1-1=-2，
故答案為：-2．

點評 本題考查了函數(shù)的周期性的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是尋找到函數(shù)f（x）的周期為3，利用周期性將所求表達式轉(zhuǎn)化為簡單數(shù)值的求解．屬于中檔題．