Question

12．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足a+b=3，則$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$的最小值為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{7}{8}$
• C． $\frac{9}{8}$
• D． 2

Answer 1

分析 方法一：利用基本不等式，$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$=$\frac{1}{8}$[a+（b+5）]（$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$）=$\frac{1}{8}$（5+$\frac{b+5}{a}$+$\frac{4a}{b+5}$），根據(jù)基本不等式即可求出最值．
方法二：由題意可得a的取值范圍，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系，即可求出最小值．

解答 解：方法一：∵a+b=3，
∴a+b+5=8，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$=$\frac{1}{8}$[a+（b+5）]（$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$）=$\frac{1}{8}$（1+4+$\frac{b+5}{a}$+$\frac{4a}{b+5}$）≥$\frac{1}{8}$（5+2$\sqrt{\frac{b+5}{a}•\frac{4a}{b+5}}$）=$\frac{9}{8}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=$\frac{8}{3}$，b=$\frac{4}{3}$時(shí)取等號(hào)，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$的最小值為$\frac{9}{8}$，
方法二：∵a+b=3，
∴b=3-a＞0，
解得0＜a＜3，
∴$\frac{1}{a}+\frac{4}{5+b}$=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{8-a}$，
設(shè)f（a）=$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{8-a}$，0＜a＜3，
∴f′（a）=-$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{（8-a）^{2}}$=$\frac{（8-3a）（8+a）}{{a}^{2}（8-a）^{2}}$，
令f′（a）=0，解得a=$\frac{8}{3}$，
當(dāng)f′（a）＞0時(shí)，解得0＜a＜$\frac{8}{3}$，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)f′（a）＜0時(shí)，解得$\frac{8}{3}$＜a＜3，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴f（a）_min=f（$\frac{8}{3}$）=$\frac{9}{8}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用最值的求法，關(guān)鍵是掌握該類問題的求解方法，基本不等式法和導(dǎo)數(shù)法，屬于中檔題．