Question

4．設函數(shù)$f（x）=\frac{x^2}{2}-klnx$．
（1）若k∈R，求f（x）的單調區(qū)間；
（2）若k＞0，討論f（x）當$x∈（1，\sqrt{e}）$時的零點的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論k的范圍，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）利用參數(shù)分離法先求出k的取值范圍，求函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，從而判斷函數(shù)的零點個數(shù)．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
故f′（x）=x-$\frac{k}{x}$=$\frac{{x}^{2}-k}{x}$，
k≤0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，
k＞1時，令f′（x）＞0，解得：x＞lnk，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜lnk，
故f（x）在（0，lnk）遞減，在（lnk，+∞）遞增，
0＜k≤1時，lnk≤0，f（x）在（0，+∞）遞增，
綜上，k≤1時，f（x）在（0，+∞）遞增，
k＞1時，f（x）在（0，lnk）遞減，在（lnk，+∞）遞增；
（2）由f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$-klnx=0得k=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，函數(shù)的定義域為（0，+∞），
設h（x）=$\frac{{x}^{2}}{2lnx}$，則h′（x）=$\frac{x（2lnx-1）}{{2（lnx）}^{2}}$，
由h′（x）=0得x=$\sqrt{e}$，
則當x＞$\sqrt{e}$時，h′（x）＞0，函數(shù)單調遞增，
當0＜x＜1或1＜x＜$\sqrt{e}$時，h′（x）＜0，函數(shù)單調遞減，
∴當x=$\sqrt{e}$時，函數(shù)取得極小值h（$\sqrt{e}$）=$\frac{{（\sqrt{e}）}^{2}}{2ln\sqrt{e}}$=e，
∵f（x）存在零點，∴k＞e，
f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，則是f′（x）=x-$\frac{k}{x}$，在（1，$\sqrt{e}$]上為增函數(shù)，
則f′（x）＜f′（$\sqrt{e}$）=$\sqrt{e}$-$\frac{k}{\sqrt{e}}$＜$\sqrt{e}$-$\frac{e}{\sqrt{e}}$=0，
即函數(shù)f（x）在（1，$\sqrt{e}$]上為減函數(shù)，
f（1）=$\frac{1}{2}$＞0，f（$\sqrt{e}$）=$\frac{e}{2}$-kln$\sqrt{e}$=$\frac{e}{2}$-$\frac{k}{2}$=$\frac{e-k}{2}$＜0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，$\sqrt{e}$]上只有1個零點．

點評 本題主要考查函數(shù)零點個數(shù)的判斷，根據(jù)函數(shù)單調性和導數(shù)的關系，利用參數(shù)分離法結合構造法是解決本題的關鍵．綜合性較強，有一定的難度．