【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，.

（I）證明：；

（II）若，求直線與平面所成角的余弦值.

【答案】（I）見解析； （II） .

【解析】

（I）連接交于點，連接，通過證明以及，證得平面，由此證得，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知.（II）先證得平面，由此以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算直線的方向向量以及平面的法向量，由此求得線面角的正弦值，進(jìn)而求得余弦值.

（I）證明：連接交于點，連接，

因為四邊形為菱形，所以且為中點,

所以平面，

平面，

為中點，為的垂直平分線，

（II）已知，，故

由（I）知則，

又

又平面

故以為原點，、、所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系

則、、、

設(shè)平面的一個法向量為，則

，設(shè)

設(shè)直線與平面所成角為

則

故直線與平面所成角的余弦值為

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上無零點，求的取值范圍.

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【題目】下圖是某市年至年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額(單位：億元)的條形圖．

（1）若從年到年的五年中，任意選取兩年，則這兩年的投資額的平均數(shù)不少于億元的概率；

（2）為了預(yù)測該市年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了與時間變量的兩個線性回歸模型．根據(jù)年至年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型①：；根據(jù)年至年的數(shù)據(jù)(時間變量的值依次為)建立模型②：．

(i)分別利用這兩個模型，求該地區(qū)年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額的預(yù)測值;

(ii)你認(rèn)為用哪個模型得到的預(yù)測值更可靠？并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】先后拋擲一枚骰子兩次，將出現(xiàn)的點數(shù)分別記為.

（1）設(shè)向量，，求的概率；

（2）求在點數(shù)之和不大于5的條件下，中至少有一個為2的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知點，圓的方程為，點是圓上任意一點，線段的垂直平分線和直線相交于點.

（1）當(dāng)點在圓上運動時，求點的軌跡方程；

（2）過點能否作一條直線，與點的軌跡交于兩點，且點為線段的中點？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】過拋物線的焦點且斜率為1的直線與拋物線交于、兩點，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）點是拋物線上異于、的任意一點，直線、與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點、，求證：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】[2019·武漢六中]袋子中有四個小球，分別寫有“武、漢、軍、運”四個字，從中任取一個小球，有放回抽取，直到取到“軍”“運”二字就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率：利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0，1，2，3代表“軍、運、武、漢”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下16組隨機(jī)數(shù)：

232 321 230 023 123 021 132 220

231 130 133 231 331 320 122 233

由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知定點M（-3，0），Q、P分別是x軸、y軸上的動點，且使MP⊥PQ，點N在直線PQ上，

（1）求動點N的軌跡C的方程.

（2）過點T（-1，0）作直線l與軌跡C交于兩點A、B，問：在x軸上是否存在一點D，使△ABD為等邊三角形；若存在，試求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】手機(jī)作為客戶端越來越為人們所青睞，通過手機(jī)實現(xiàn)衣食住行消費已經(jīng)成為一種主要的消費方式.在某市，隨機(jī)調(diào)查了200名顧客購物時使用手機(jī)支付的情況，得到如下的2×2列聯(lián)表，已知從使用手機(jī)支付的人群中隨機(jī)抽取1人，抽到青年的概率為.

（I）根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表，并根據(jù)此資料判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為“市場購物用手機(jī)支付與年齡有關(guān)”？

2×2列聯(lián)表：

青年

中老年

合計

使用手機(jī)支付

120

不使用手機(jī)支付

48

合計

200

（Ⅱ）現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這200名顧客中按照“使用手機(jī)支付”和“不使用手機(jī)支付”抽取一個容量為10的樣本，再從中隨機(jī)抽取3人，求這三人中“使用手機(jī)支付”的人數(shù)的分布列及期望.

附：

0.05

0.025

0.010

0.005

3.841

5.024

6.635

7.879

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