Question

【題目】已知橢圓（a＞b＞0）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（0，）過(guò)F2與坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)l與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，N為PQ的中點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，且MN⊥PQ于N，求直線(xiàn)PQ的方程．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線(xiàn)PQ的方程為y（x﹣1），或y（x﹣1）

【解析】

（1）由圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，可得，，即得橢圓的方程；

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為，P（x1，y1），Q（x2，y2），聯(lián)立直線(xiàn)方程與橢圓方程，由韋達(dá)定理求解出的坐標(biāo)，根據(jù)，轉(zhuǎn)化求解即可．

（1）∵圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（0，），

∴a＝2，b， ∴橢圓C的方程為1；

（2）因?yàn)橹本�(xiàn)PQ的斜率存在，設(shè)直線(xiàn)方程為y＝k（x﹣1），P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，

由韋達(dá)定理知x1+x2，y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k

此時(shí)N（，），又M（0，），則kMN，

∵MN⊥PQ，∴kMN，解得k或k．

∴直線(xiàn)PQ的方程為y（x﹣1），或y（x﹣1）．