【題目】在豎直坐標(biāo)平面中,從坐標(biāo)原點出發(fā)以同一初速度和不同的發(fā)射角(即發(fā)射方向與軸正向之間的夾角)射出的質(zhì)點(不計質(zhì)點的大小),在重力(設(shè)重力加速度為)的作用下運動軌跡是拋物線,所有這些拋物線組成一個拋物線族(即拋物線的集合).若兩條拋物線在同一個交點處的切線互相垂直,則稱這個交點為正交點.證明:此拋物線族的所有正交點的集合是一段橢圓弧,并求出這個橢圓弧的方程(包括變量的取值范圍),再畫出它的草圖.注. 拋物線在其上的點處的切線的斜率為.
【答案】見解析
【解析】
如圖,設(shè)在時刻時質(zhì)點坐標(biāo)為,
時質(zhì)點在坐標(biāo)原點.由物理學(xué)公式得
由①得 ,代入②得
,
亦即 . ③
這就是以為發(fā)射角的質(zhì)點的運動軌跡方程.
另外,由,知,與同號.
由題注知,拋物線③在點處的切線的斜率為
.
設(shè)正交點為,兩條拋物線所對應(yīng)的發(fā)射角分別為和,則由“正交點”的定義得
.
又因為在這兩條拋物線上,故
. ⑤
顯然原點是“正交點”,這只須取即可.故下面設(shè).由⑤得
<> .把上式代入④得
,
即 . ⑥
又由⑤知,和是下列一元二次方程(設(shè)為未知元)
⑦
的兩個根,故由根與系數(shù)的關(guān)系得
. ⑧
把⑧代入⑥得
,
,
即 . ⑨
另外,由(因為)知⑦應(yīng)有兩個不同的實根,從而⑦的判別式應(yīng)大于零,即
,
亦即 . ⑩
又由⑨得 ,所以,⑩變?yōu)?/span>
,
,
即 .
但由⑨得,這樣由知,只能有
.
綜合⑨和知,所有“正交點“的集合是下列方程所表示的曲線:
.
它所表示的曲線如下圖所示,即橢圓上除去上頂點以外,卻都可以成為“正交點”.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廣場要劃出一塊矩形區(qū)域,在其中開辟三塊完全相同的矩形綠化園圃,空白處均鋪設(shè)寬的走道,如圖.已知三塊園圃的總面積為,設(shè)園圃小矩形的一邊長為,區(qū)域的面積為(單位:).
(1)求的最小值.
(2)若區(qū)域的面積不超過,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中為常數(shù).
若曲線在處的切線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等,求的值;
若對,都有,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為萬元.該建筑物每年的能源消耗費用(單位:萬元)與隔熱層厚度(單位:厘米)滿足關(guān)系:.若不建隔熱層,每年的能源消耗費用為萬元.設(shè)為隔熱層建造費用與年的能源消耗費用之和.
(1)求的值及的表達(dá)式;
(2)隔熱層修建多厚時,總費用最小,并求其最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面平面,,是等邊三角形,已知,.
(1)設(shè)是上的一點,證明:平面平面;
(2)求四棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】南充高中扎實推進陽光體育運動,積極引導(dǎo)學(xué)生走向操場,走進大自然,參加體育鍛煉,每天上午第三節(jié)課后全校大課間活動時長35分鐘.現(xiàn)為了了解學(xué)生的體育鍛煉時間,采用簡單隨機抽樣法抽取了100名學(xué)生,對其平均每日參加體育鍛煉的時間(單位:分鐘)進行調(diào)查,按平均每日體育鍛煉時間分組統(tǒng)計如下表:
分組 | ||||||
男生人數(shù) | 2 | 16 | 19 | 18 | 5 | 3 |
女生人數(shù) | 3 | 20 | 10 | 2 | 1 | 1 |
若將平均每日參加體育鍛煉的時間不低于120分鐘的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)人”.
(1)將頻率視為概率,估計我校7000名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”有多少?
(2)從這100名學(xué)生的“鍛煉達(dá)人”中按性別分層抽取5人參加某項體育活動.
①求男生和女生各抽取了多少人;
②若從這5人中隨機抽取2人作為組長候選人,求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在△中, , 分別為, 的中點, 為的中點, , .將△沿折起到△的位置,使得平面平面, 為的中點,如圖2.
(1)求證: 平面;
(2)求證:平面平面;
(3)線段上是否存在點,使得平面?說明理由.
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