Question

9．已知直線y=2x-1與拋物線C：x²=2py（p＞0）相切
（1）求拋物線C的方程
（2）過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若弦AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$\frac{11}{4}$，求弦AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）聯(lián)立直線方程與橢圓方程消掉y得x的二次方程，由直線與拋物線相切得△=0，解出即可．
（2）由拋物線的定義可得AB=AA′+BB′，再由線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為$\frac{11}{4}$可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（$\frac{11}{4}$+$\frac{1}{4}$）=AA′+BB′=AB，由此求得線段AB的長(zhǎng)．

解答 解：（1）由直線y=2x-1與拋物線C：x²=2py（p＞0），聯(lián)立得x²-4px+2p=0，
因?yàn)橹本�與拋物線相切，
所以△=16p²-8p=0，解得p=$\frac{1}{2}$，
∴拋物線C的方程是x²=y；
（2）設(shè)A、B、M在準(zhǔn)線y=-$\frac{1}{4}$上的射影分別為A′、B′、M′，則由拋物線的定義可得AB=AA′+BB′．
再由線段AB的中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為$\frac{11}{4}$可得 2MM′=AA′+BB′，即 2（$\frac{11}{4}$+$\frac{1}{4}$）=AA′+BB′=AB，
∴AB=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，屬中檔題．