Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形，E是BC的中點．
（1）求證：AE∥平面PCD；
（2）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）證明四邊形AECD是平行四邊形得出AE∥CD，從而有AE∥平面PCD；
（2）連結(jié)DE，BD，設AE∩BD=O，由三線合一證明OP⊥BD，根據(jù)勾股定理逆定理證明OP⊥OA，故而OP⊥平面ABCD，于是V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•OP$．

解答 （1）證明：∵∠ABC=∠BAD=90°，
∴AD∥BC，
∵BC=2AD，E是BC的中點，
∴AD=CE，
∴四邊形ADCE是平行四邊形，
∴AE∥CD，
又AE?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AE∥平面PCD．
（2）解：連結(jié)DE，BD，設AE∩BD=O，
則四邊形ABED是正方形，
∴O為BD的中點，
∵△PAB與△PAD都是邊長為2的等邊三角形，
∴BD=2$\sqrt{2}$，OB=$\sqrt{2}$，OA=$\sqrt{2}$，PA=PB=2，
∴OP⊥OB，OP=$\sqrt{2}$，
∴OP²+OA²=PA²，即OP⊥OA，
又OA?平面ABCD，BD?平面ABCD，OA∩BD=O，
∴OP⊥平面ABCD．
∴V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•OP$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}（2+4）×2×\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定，棱錐的體積計算，屬于中檔題．