Question

16．已知函數(shù)f（x）=x-$\frac{a}{x}$-lnx，a＞0．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）＜x-1在（1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用△分類(lèi)討論導(dǎo)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖形來(lái)判斷f（x）的單調(diào)性；
（2）f（x）＞x-1，即x-$\frac{a}{x}$-lnx＞x-1，因?yàn)閤∈（1，+∞），所以a＞x-xlnx．轉(zhuǎn)化為求x-xlnx的最大值；

解答 解：（1）定義域?yàn)椋?，+∞），由于f′（x）=1+$\frac{a}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}-x+a}{{x}^{2}}$，
令m（x）=x²-x+a，
①當(dāng)△=1-4a≤0，即a≥$\frac{1}{4}$時(shí)，f′（x）≥0恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)△=1-4a＞0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$時(shí)，由x²-x+a＞0，得0＜x＜$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$或x＞$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$．
所以f（x）在（0，$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$），（$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$，+∞）上是增函數(shù)，在（$\frac{1-\sqrt{1-4a}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{1-4a}}{2}$）上是減函數(shù)．
（2）f（x）＞x-1，即x-$\frac{a}{x}$-lnx＞x-1，
因?yàn)閤∈（1，+∞），所以a＞x-xlnx．
令g（x）=x-xlnx，g′（x）=-lnx，即g′（x）＜0，
故g（x）=x-xlnx在（1，+∞）上為減函數(shù)，
g（x）＜g（1）=1，所以a≥1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)與分類(lèi)討論法判斷函數(shù)圖形的單調(diào)性，以及利用單調(diào)性求函數(shù)最值，屬中等題．