已知P是圓C：(x-1)2+(y-
3
)2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A（
3
，1），則
OP
•
OA
的最小值為
 
．
分析：如圖，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)向量
OP
在向量
OA
上的射影最小時(shí)，
OP
•
OA
取到最小值．由此根據(jù)題中的圓C方程與點(diǎn)A坐標(biāo)加以計(jì)算，可得
OP
•
OA
的最小值．
解答：解：精英家教網(wǎng)圓C：(x-1)2+(y-
3
)2=1的圓心為C（1，
3
），半徑r=1
如圖，作PQ⊥OA于Q，CD⊥OA于D，
設(shè)D（
3
λ，λ），可得
CD
=（
3
λ-1，λ-
3
），
由
OA
⊥
CD
，得
OA
•
CD
=
3
(
3
λ-1)+(λ-
3
)=0，
解之得λ=
3
2
，可得D（
3
2
，
3
2
），|
OD
|=
9
4
+
3
4
=
3
．
根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)向量
OP
在向量
OA
上的射影最小時(shí)，
OP
•
OA
取到最小值．
∵|
OQ
|min=|
OT
|=|
OD
|-1=
3
-1．
∴
OP
•
OA
min=|
OA
|?|
OQ
|min═|
OA
|?|
OT
|=2（
3
-1）
故答案為：2（
3
-1）
點(diǎn)評(píng)：本題給出點(diǎn)P是圓C上一點(diǎn)，A點(diǎn)在圓C外，求數(shù)量積
OP
•
OA
的最小值．著重考查了向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)、直線與圓的方程等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosθ
y=
3
+2sinθ
(θ為系數(shù))，若P是圓C與x軸正半軸的交點(diǎn)，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)過點(diǎn)P的圓C的切線為l，求直線l的極坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

請(qǐng)考生注意：重點(diǎn)高中學(xué)生只做（1）、（2）兩問，一般高中學(xué)生只做（1）、（3）兩問．
已知P是圓F1：(x+1)2+y2=16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（1，0），直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點(diǎn)，且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，若
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．試求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，使得
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在求出直線l的方程，否則說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P是圓F1：（x+1）2+y2=16上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F2（1，0），線段PF2的垂直平分線l與半徑F1P交于點(diǎn)Q．
（I）當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)Q的軌跡C的方程．
（II）已知點(diǎn)M（1，
3
2
），A、B在（1）中所求的曲線C上，且
MA
+
MB
=λ
OM
（λ∈R，O是坐標(biāo)原點(diǎn)），
（i）求直線AB的斜率；
（ii）求證：當(dāng)△MAB的面積取得最大值時(shí)，O是△MAB的重心．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

請(qǐng)考生注意：重點(diǎn)高中學(xué)生只做（1）、（2）兩問，一般高中學(xué)生只做（1）、（3）兩問．
已知P是圓F1：(x+1)2+y2=16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F2的坐標(biāo)為（1，0），直線m分別與線段F1P、F2P交于M、N兩點(diǎn)，且
MN
=
1
2
(
MF2
+
MP
)，|
NM
+
F2P
|=|
NM
-
F2P
|．
（1）求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）斜率為k的直線l與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，若
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．試求直線l在y軸上截距的取值范圍；
（3）是否存在斜率為
1
2
的直線l與曲線C交于P、Q兩點(diǎn)，使得
OP
•
OQ
=0（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在求出直線l的方程，否則說明理由．

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