已知點 為橢圓 上一定點，過點A作兩條直線與橢圓交于B、C兩點.若直線AB、AC與x軸圍成以點A為頂點的等腰三角形，求直線BC的斜率，并求在什么條件下△ABC的面積最大？最大面積是多少？
解析：�。�1）將點 坐標(biāo)代入橢圓方程得n＝6　∴橢圓方程為  ①
　　由題設(shè)知等腰三角形ABC的兩腰不能與x軸垂直，故設(shè)兩腰AB、AC所在直線的斜率分別為 ， ，　　　　　　
　　則直線AB的方程為  ②　　直線AC的方程為③
∴由①②聯(lián)立解得點B坐標(biāo)為 ∴由①③聯(lián)立解得點C坐標(biāo)為
　　由題設(shè)知
∴直線BC的斜率   
　　（2）設(shè)直線BC的方程為④　　
　�、艽霗E圓方程 得
　　∴判別式△>0 　 ⑤　且
∴ ⑥
　　又點A到直線BC的距離
　　∴△ABC的面積  
　　當(dāng)且僅當(dāng) 時等號成立　∴ ，當(dāng)且僅當(dāng) （滿足⑤式）時取得.
　　于是可知，當(dāng) 或 時，△ABC的面積S取得最大值 ，
　　此時，直線BC的方程為 ，即 .
　　此時又易知BC∥OA（O為原點），B、C兩點恰好分別為長軸、短軸的端點.
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

(本小題滿分12分)

有一幅橢圓型彗星軌道圖，長4cm，高，如下圖，

已知O為橢圓中心，A1，A2是長軸兩端點，
 
太陽位于橢圓的左焦點F處.

   （Ⅰ）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出橢圓方程，

并求出當(dāng)彗星運行到太陽正上方時二者在圖上的距離；

   （Ⅱ）直線l垂直于A1A2的延長線于D點，|OD|=4，

設(shè)P是l上異于D點的任意一點，直線A1P，A2P分別

交橢圓于M、N（不同于A1，A2）兩點，問點A2能否

在以MN為直徑的圓上？試說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本題滿分15分）已知橢圓的離心率為，點是橢圓上一定點，若斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點、.

（I）求橢圓方程；（II）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知點為圓上的動點，且不在軸上，軸，垂足為，線段中點的軌跡為曲線，過定點任作一條與軸不垂直的直線，它與曲線交于、兩點。

（I）求曲線的方程；

（II）試證明：在軸上存在定點，使得總能被軸平分

【解析】第一問中設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為

第二問中，設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　

∵，∴

確定結(jié)論直線與曲線總有兩個公共點．

然后設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ，則，  

要使被軸平分，只要得到。

（1）設(shè)為曲線上的任意一點，則點在圓上，

∴，曲線的方程為．  ………………2分       

（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，直線的方程為，　　………………3分　 　

代入曲線的方程，可得　，……5分            

∵，∴，

∴直線與曲線總有兩個公共點．（也可根據(jù)點M在橢圓的內(nèi)部得到此結(jié)論）

………………6分

設(shè)點,的坐標(biāo)分別, ，則，   

要使被軸平分，只要，            ………………9分

即，，        ………………10分

也就是，，

即，即只要　 ………………12分　 

當(dāng)時，（＊）對任意的s都成立，從而總能被軸平分．

所以在x軸上存在定點，使得總能被軸平分

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012屆云南省高三上期中理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、軸上的動點，且滿足．若點滿足．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線 分別交于點、（為坐標(biāo)原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由．

 

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