Question

【題目】已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對(duì)任意的m，，，都有．

若，求a的取值范圍．

若不等式對(duì)任意和都恒成立，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由函數(shù)的單調(diào)性的定義，構(gòu)造出f（x）在定義域[﹣5，5]，上是增函數(shù)，通過增函數(shù)性質(zhì)解不等式得a的取值范圍;

（2）由f（x）單調(diào)遞增且奇函數(shù)，利用其最大值整理得關(guān)于a，t 的不等式，由a∈[﹣3，0]都恒成立，根據(jù)單調(diào)性可以求t的取值范圍．

解：設(shè)任意x1，x2滿足﹣5≤x1＜x2≤5，由題意可得：

f（x1）﹣f（x2）即f（x1）＜f（x2）．所以f（x）在定義域[﹣5，5]，上是增函數(shù)，

由f（2a﹣1）＜f（3a﹣3），得，解得2＜a，

故a的取值范圍為（2，]；

（2）由以上知f（x）是定義在[﹣5，5]上的單調(diào)遞增的奇函數(shù)，且f（﹣5）＝﹣2，

得在[﹣5，5]上f（x）max＝f（5）＝﹣f（﹣5）＝2．

在[﹣5，5]上不等式f（x）≤（a﹣2）t+5對(duì)a∈[﹣3，0]都恒成立，

所以2≤（a﹣2）t+5即at﹣2t+3≥0，對(duì)a∈[﹣3，0]都恒成立，

令g（a）＝at﹣2t+3，a∈[﹣3，0]，則只需，即．

解得t

故t的取值范圍（﹣∞，]．