Question

7．已知拋物線的方程為C：x²=4y，過點Q（0，2）的一條直線與拋物線C交于A，B兩點，若拋物線在A，B兩點的切線交于點P．
（1）求點P的軌跡方程；
（2）設直線PQ與直線AB的夾角為α，求α的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）將直線AB的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及導數(shù)的幾何意義，分別求得切線方程，聯(lián)立即可求得點P的軌跡方程；
（2）分類討論，根據直線斜率與傾斜角的關系，即可求得tanα取值范圍，即可求得α的取值范圍．

解答 解：（1）由AB直線與拋物線交于兩點可知，直線AB不與x軸垂直，故可設l_AB：y=kx+2，
則$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，整理得：x²-4ky-8=0…①，
△=16k²+32＞0，故k∈R時均滿足題目要求．
設交點坐標為$A（{x_1}，\frac{{{x_1}^2}}{4}），B（{x_2}，\frac{{{x_2}^2}}{4}）$，則x₁，x₂為方程①的兩根，
故由韋達定理可知，x₁+x₂=4k，x₁x₂=-8．
將拋物線方程轉化為$y=\frac{1}{4}{x^2}$，則$y'=\frac{1}{2}x$，故A點處的切線方程為$y-\frac{{{x_1}^2}}{4}=\frac{x_1}{2}（x-{x_1}）$，
整理得$y=\frac{x_1}{2}x-\frac{{{x_1}^2}}{4}$，
同理可得，B點處的切線方程為$y=\frac{x_2}{2}x-\frac{{{x_2}^2}}{4}$，記兩條切線的交點P（x_p，y_p），
聯(lián)立兩條切線的方程，解得點P坐標為${x_P}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=2k，{y_P}=k{x_1}-\frac{{{x_1}^2}}{4}=k{x_1}-（k{x_1}+2）=-2$，
故點P的軌跡方程為y=-2，x∈R
（2）當k=0時，x_P=0，y_P=-2，此時直線PQ即為y軸，與直線AB的夾角為$\frac{π}{2}$．
當k≠0時，記直線PQ的斜率${k_{PQ}}=\frac{-2-2}{2k-0}=-\frac{2}{k}$，
又由于直線AB的斜率為k，且已知直線AB與直線PQ所夾角α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
tanα=丨$\frac{{k}_{PQ}-{k}_{AB}}{1+{k}_{PQ}•{k}_{AB}}$丨=丨$\frac{-\frac{2}{k}-k}{1-2}$丨=$\frac{2}{丨k丨}$+丨k丨≥2$\sqrt{2}$，
則a∈[arctan2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$）
綜上所述，α的取值范圍是∈[arctan2$\sqrt{2}$，$\frac{π}{2}$]．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)求切線方程，基本不等式的應用，考查計算能力，屬于中檔題．