Question

12．在正四棱錐V-ABCD內(nèi)有一半球，其底面與正四棱錐的底面重合，且與正四棱錐的四個側(cè)面相切，若半球的半徑為2，則當(dāng)正四棱錐的體積最小時，其高等于2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)球心為O，設(shè)底邊OD=x和體高OP=y，推導(dǎo)出正四棱錐的體積V=$\frac{4\sqrt{3}{x}^{3}}{{x}^{2}-4}$，則V′=$\frac{4\sqrt{3}{x}^{2}（{x}^{2}-12）}{（{x}^{2}-4）^{2}}$，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出正四棱錐的體積取最小值$\frac{9}{2}$時，其高等于2$\sqrt{3}$．

解答 解：設(shè)球心為O，設(shè)底邊OD=x和體高OP=y，如圖，
則PD²=x²+y²，（PD為斜高），
△ABC的底邊AB的高為3y，△ABC的邊長為AB=2$\sqrt{3}y$，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×2\sqrt{3}y×3y$=3$\sqrt{3}$y²，
∵V=V_O-VAB+V_O-VAC
=$\frac{1}{3}•r•（{S}_{△VAB}+{S}_{△VBC}+{S}_{△VAC}）$
=$\frac{2}{3}$[3×（$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}y×\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$）]
=2$\sqrt{3}$y$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
又V=V_V-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×x$=$\sqrt{3}x{y}^{2}$，
∴V=$\frac{4\sqrt{3}{x}^{3}}{{x}^{2}-4}$，
∴V′=$\frac{4\sqrt{3}{x}^{2}（{x}^{2}-12）}{（{x}^{2}-4）^{2}}$，
令V′=0，得x=2$\sqrt{3}$，
由該體積函數(shù)的幾何意義得：當(dāng)x=2$\sqrt{3}$時，正四棱錐的體積最�。�
∴當(dāng)正四棱錐的體積取最小值$\frac{9}{2}$時，其高等于2$\sqrt{3}$．
故答案為：2$\sqrt{3}$．

點評 本題考察了導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用、棱錐的結(jié)構(gòu)特征、棱柱、棱錐、棱臺的體積、球內(nèi)接多面體，是中檔題．