Question

19．已知α∈（0，$\frac{π}{2}$），若cos（α+$\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}$，則sin（α-$\frac{π}{12}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

Answer 1

分析 由已知利用誘導公式可求sin（α-$\frac{π}{3}$），利用同角三角函數(shù)基本關系式可求cos（α-$\frac{π}{3}$）的值，進而利用兩角和的正弦函數(shù)公式即可計算得解sin（α-$\frac{π}{12}$）的值．

解答 解：∵α∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴-$\frac{π}{3}$＜α-$\frac{π}{3}$＜$\frac{π}{6}$，
∵cos（α+$\frac{π}{6}$）=sin（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{3}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{3}{5}$，
∴cos（α-$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{1-si{n}^{2}（α-\frac{π}{3}）}$=$\frac{4}{5}$，
∴sin（α-$\frac{π}{12}$）=sin[（α-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{4}$]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$[sin（α-$\frac{π}{3}$）+cos（α-$\frac{π}{3}$）]=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{3}{5}$+$\frac{4}{5}$）=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{10}$．

點評 本題主要考查了誘導公式，同角三角函數(shù)基本關系式，兩角和的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．