Question

18．如圖所示，設(shè)P為圓O外的點，過點P作圓O的切線PA，切點為A，過點P作圓O的割線PBC，與圓交于B，C兩點，AH⊥OP，垂足為H．
（1）求證：△PHB～△PCO；
（2）已知圓O的半徑為1，PA=$\sqrt{3}$，PB=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，求四邊形BCOH的面積．

Answer 1

分析 （1）由射影定理知：PA²=PH•PO，根據(jù)切線長定理知：PA²=PB•PC，即可證明：△PHB～△PCO；
（2）求出S_△OCP=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．由△PHB∽△PCO，相似比為$\frac{PB}{PO}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，面積比為（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3}{8}$，從而求出四邊形BCOH的面積．

解答 證明：（1）在直角△POA中，由射影定理知：PA²=PH•PO，
又根據(jù)切線長定理知：PA²=PB•PC，
從而PH•PO=PB•PC，即$\frac{PH}{PC}=\frac{PB}{PO}$，
∵∠BPH=∠OPC，
∴△PHB～△PCO；
解：（2）由勾股定理PO=2，由切線長定理PA²=PB•PC，可得PC=$\sqrt{6}$，
在△POC中，cosC=$\frac{1+6-4}{2×1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
所以S_△OCP=$\frac{1}{2}×1×\sqrt{6}×\frac{\sqrt{10}}{4}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
由△PHB∽△PCO，相似比為$\frac{PB}{PO}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，面積比為（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3}{8}$
從而四邊形BCOH的面積S=$\frac{5}{8}$S_△OCP=$\frac{5}{32}\sqrt{15}$．

點評 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查切線長定理、射影定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．