Question

1．甲、乙 兩人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為$\frac{1}{3}和\frac{1}{4}$，求：
（Ⅰ） 兩個人都能譯出密碼的概率；
（Ⅱ） 恰有一個人譯出密碼的概率；
（Ⅲ） 至多有一個人譯出密碼的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用相互獨立事件的概率乘法公式求得兩個人都能譯出密碼的概率．
（Ⅱ）求出甲能譯出密碼而乙不能譯出密碼的概率、甲不能譯出密碼而乙能譯出密碼的概率，相加即得所求．
（Ⅲ） 用1減去甲乙都能譯出密碼的概率，即為至多有一個人譯出密碼的概率．

解答 解：記“甲譯出密碼”為事件A，“乙譯出密碼”為事件B，“兩人都譯出密碼”為事件C，“兩人都譯不出密碼”為事件D，
“恰有一人譯出密碼”為事件E，“至多一個人譯出密碼”為事件F，
（Ⅰ）$P（C）=P（A∩B）=P（A）P（B）=\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$，即兩個人都能譯出的概率為$\frac{1}{12}$．
（Ⅱ）$P（E）=P[{（A∩\overline B）∪（\overline A∩B）}]=P（A∩\overline B）+P（\overline A∩B）=\frac{1}{3}×（1-\frac{1}{4}）+（1-\frac{1}{3}）×\frac{1}{4}=\frac{5}{12}$，
即 恰有一個人譯出密碼的概率為$\frac{5}{12}$．
（Ⅲ）利用事件的對立事件求得$P（F）=1-P（A∩B）=1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}$，
所以至多有一個人譯出密碼的概率.$\frac{11}{12}$．

點評 本題主要考查相互獨立事件的概率乘法公式的應(yīng)用，事件與它的對立事件概率間的關(guān)系，屬于中檔題．