Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=x²+2ax+2a+1，若對任意的x∈[-1，1]都有f（x）≥1恒成立，求a的范圍．

Answer 1

分析 法一：利用函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，列出不等式組區(qū)間即可．
法二：利用恒成立分離a，通過x的范圍討論，轉(zhuǎn)化為基本不等式區(qū)間最值，推出結(jié)果．

解答 （本小題滿分12分）
解：法一：根據(jù)題意，得$\left\{\begin{array}{l}-a≤-1\\ f（-1）≥1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}-1＜-a＜1\\ f（-a）≥1\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}-a≥1\\ f（1）≥1\end{array}\right.$，
解得a≥1或0≤a＜1．
∴a的范圍為[0，+∞）．
法二：若對任意的有f（x）≥1恒成立，則2a（x+1）≥-x²對任意的恒成立，
當x=-1時，a∈R，當x≠-1時$2a≥\frac{{-{x^2}}}{x+1}$恒成立，
令$y=g（x）=\frac{{-{x^2}}}{x+1}$，x∈（-1，1]，
令t=x+1得：$y=-（t+\frac{1}{t}）+2，t∈（0，2]$，
易知 y_max=0，故2a≥0，
∴a的范圍為[0，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)恒成立，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，基本不等式求解表達式的最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類討論思想的應(yīng)用．