Question

2．以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的方程為$ρsin（{θ-\frac{2π}{3}}）=-\sqrt{3}$，⊙C的極坐標方程為ρ=4cosθ+2sinθ．
（1）求直線l和⊙C的普通方程；
（2）若直線l與圓⊙C交于A，B兩點，求弦AB的長．

Answer 1

分析 （1）將$ρsin（{θ-\frac{2π}{3}}）=-\sqrt{3}$利用和差公式打開；根據(jù)x=ρcosθ，y=ρsinθ帶入可得直線l和⊙C的普通方程．
（2）利用圓截直線的弦長公式求|AB|即可

解答 解：（1）直線l的方程為$ρsin（{θ-\frac{2π}{3}}）=-\sqrt{3}$，
可得：ρsinθcos$\frac{2π}{3}$-ρcosθsin$\frac{2π}{3}$=-$\sqrt{3}$
?-$\frac{1}{2}$y-$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$-\sqrt{3}$
即：$\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$．
⊙C的極坐標方程為ρ=4cosθ+2sinθ．
可得：ρ²=4ρcosθ+2ρsinθ，
?x²+y²=4x+2y
即：x²+y²-4x-2y=0，
故得直線l的普通方程為：$\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}$；⊙C的普通方程為：x²+y²-4x-2y=0．
（2）由x²+y²-4x-2y=0，可知圓心為（2，1），半徑r=$\sqrt{5}$，
那么：圓心到直線的距離d=$\frac{|2\sqrt{3}+1-2\sqrt{3}|}{2}=\frac{1}{2}$，
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-slt1p4b^{2}}=\sqrt{19}$
故得直線l與圓⊙C交于A，B兩點間的弦AB長為$\sqrt{19}$．

點評 本題主要考查了極坐標方程與直角坐標方程的互換和圓心到直線的距離公式的運用．