Question

14．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$．
（1）若$β∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（β）的取值范圍；
（2）若$tanα=2\sqrt{3}$，求f（α）的值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到f（x）的取值范圍．
（2）已知$tanα=2\sqrt{3}$，求解f（α）的表達(dá)式，構(gòu)造正切．可得結(jié)論．

解答 解：函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$．
化簡(jiǎn)可得：f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x-1
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1
那么：f（β）=2sin（2β$-\frac{π}{6}$）-1
∵$β∈[{0，\frac{π}{2}}]$，
∴2β$-\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2β$-\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]
故得f（β）的取值范圍是[-2，1]
（2）函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sin2x-2{cos^2}x$．
那么：f（α）=$\sqrt{3}$sin2α-2cos²α=$\frac{2\sqrt{3}sinαcosα-2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}=\frac{2\sqrt{3}tanα-2}{ta{n}^{2}α+1}$
∵$tanα=2\sqrt{3}$，
∴f（α）=$\frac{2\sqrt{3}×2\sqrt{3}-2}{4×3+1}=\frac{10}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力，函數(shù)性質(zhì)和同角三角函數(shù)關(guān)系式的計(jì)算．屬于中檔題．