Question

4．已知函數(shù)f（x）=x²+mx+1，當f（x）分別滿足下列條件時，求實數(shù)m的取值范圍．
（1）f（x）在區(qū)間（0，2）上只有一個零點；
（2）f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個零點；
（3）f（x）在區(qū)間（0，2）上有零點．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)f（x）=x²+mx+1只有一個零點，則$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$或△=m²-4=0，且0＜-$\frac{m}{2}$＜2，解得即可，
（2））若f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個零點，則$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{m}{2}＜2}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\\{△={m}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，解得即可，
（3）由（1），（2）可知．

解答 解：（1）：若函數(shù)f（x）=x²+mx+1只有一個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△={m}^{2}-4＞0}\\{f（1）＞0}\\{f（2）≤0}\end{array}\right.$或△=m²-4=0，且0＜-$\frac{m}{2}$＜2，
解得m=-2或m≤-$\frac{5}{2}$，
（2）∵f（x）在區(qū)間（0，2）上有兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{m}{2}＜2}\\{f（0）＞0}\\{f（2）＞0}\\{△={m}^{2}-4＞0}\end{array}\right.$，
解得-$\frac{5}{2}$＜m＜-2，
故m的取值范圍為（-$\frac{5}{2}$，-2），
（3）f（x）在區(qū)間（0，2）上有零點，由（1），（2）可知，
m的取值范圍為（-∞，-2]

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵