Question

14．設(shè)F₁是橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，且MF₁與x軸垂直，若$|{M{F_1}}|=\frac{3}{2}$，橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）以橢圓C的左頂點(diǎn)A為Rt△ABD的直角頂點(diǎn)，邊AB，AD與橢圓C交于B，D兩點(diǎn)，求△ABD面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，分析可得M的坐標(biāo)，則有$\left\{\begin{array}{l}\frac{b^2}{a}=\frac{3}{2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解可得a、b的值，代入橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得答案；
（2）設(shè)直線AB的方程為直線y=k（x+2）（k＞0），代入橢圓方程消去y得（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，由此可以表示|AB|，同時(shí)可以設(shè)直線AD的方程為直線$y=-\frac{1}{k}（x+2）$，可以用k表示|AD|，由三角形面積公式結(jié)合基本不等式分析可得答案．

解答 解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)F₁（-c，0），MF₁與x軸垂直，
所以$M（-c，\frac{b^2}{a}）$或$M（-c，-\frac{b^2}{a}）$，
則$\left\{\begin{array}{l}\frac{b^2}{a}=\frac{3}{2}\\ \frac{c}{a}=\frac{1}{2}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=\sqrt{3}\\ c=1\end{array}\right.$，
故橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）點(diǎn)A（-2，0），設(shè)直線AB的方程為直線y=k（x+2）（k＞0），
代入橢圓方程消去y得：（3+4k²）x²+16k²x+16k²-12=0，
設(shè)A（x₁，0），則$-2{x_1}=\frac{{16{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
所以${x_1}=\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}$，
$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）}•|{{x_1}+2}|=\sqrt{（1+{k^2}）}•|{\frac{{-8{k^2}+6}}{{3+4{k^2}}}+2}|=\frac{{12\sqrt{1+{k^2}}}}{{4{k^2}+3}}$
直線AD的方程為直線$y=-\frac{1}{k}（x+2）$，
同理可得$|{AD}|=\frac{{12\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}{{\frac{4}{k^2}+3}}$，
所以△ABD的面積：${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}|{AB}|•|{AD}|=\frac{1}{2}•\frac{{12\sqrt{1+{k^2}}}}{{4{k^2}+3}}•\frac{{12\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}{{\frac{4}{k^2}+3}}=\frac{72}{{12（k+\frac{1}{k}）+\frac{1}{{k+\frac{1}{k}}}}}$
令$t=k+\frac{1}{k}$，因?yàn)閗＞0，則$t=k+\frac{1}{k}≥2$，$f（t）=12t+\frac{1}{t}$在[2，+∞）上單增，
所以$f（t）≥\frac{49}{2}$，所以${S_{△ABD}}≤\frac{144}{49}$，△ABD面積的最大值為$\frac{144}{49}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，涉及直線與橢圓的位置關(guān)系，一般需要聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行分析．