Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，聯(lián)接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為2$\sqrt{6}$．
（1）求橢圓C的方程；
（2）A、B是橢圓的左右頂點(diǎn)，P（x_P，y_P）是橢圓上任意一點(diǎn)，橢圓在P點(diǎn)處的切線與過A、B且與x軸垂直的直線分別交于C、D兩點(diǎn)，直線AD、BC交于Q（x_Q，y_Q），是否存在實(shí)數(shù)λ，使x_P=λx_Q恒成立，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，聯(lián)接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為2$\sqrt{6}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)切線方程為y=kx+m，與橢圓聯(lián)立消元得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線方程，組合已知條件能求出存在λ=1，使x_P=λx_Q恒成立．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，聯(lián)接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)的四邊形面積為2$\sqrt{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{2ab=2\sqrt{6}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{2}$，
故橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．…（4分）
（2）設(shè)切線方程為y=kx+m，
與橢圓聯(lián)立消元得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，
∵切線與橢圓相切，∴△=36k²m²-4（2+3k²）（3m²-6）=0，
化簡(jiǎn)得m²=2+3k²，…（6分）且${x}_{P}=-\frac{6km}{2（2+3{k}^{2}）}$=-$\frac{3k}{m}$，…（8分）
又直線AD方程為y=$\frac{m+\sqrt{3}k}{2\sqrt{3}}$（x+$\sqrt{3}$），
直線BC方程為y=$\frac{m-\sqrt{3}k}{2-\sqrt{3}}$（x-$\sqrt{3}$），
解得x_Q=-$\frac{3k}{m}$，…（10分）
∴存在λ=1，使x_P=λx_Q恒成立．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)與方程思想，是中檔題．