Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+3x-4，記不等式f（x）＜-3的解集為M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）當(dāng)x∈M時(shí)，證明：x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，即可求M；
（Ⅱ）當(dāng)x∈M時(shí)，要證x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0，只需證[f（x）]²-x|f（x）|＞0．

解答 （Ⅰ）解：依題設(shè)，當(dāng)x$≤\frac{1}{2}$時(shí)，由f（x）=x-3＜-3，解得x＜0，此時(shí)x＜0，；
當(dāng)x＞$\frac{1}{2}$時(shí)，由f（x）=5x-5＜-3，解得x$＜\frac{2}{5}$，此時(shí)x∈∅．
∴f（x）＜-3的解集為M=（-∞，0）．
（Ⅱ）證明：當(dāng)x∈M時(shí)，要證x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0，
只需證[f（x）]²-x|f（x）|＞0，
由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈M時(shí)，f（x）=x-3，
∴[f（x）]²-x|f（x）|=（x-3）（2x-3），
又∵x-3＜0，2x-3＜0，∴[f（x）]²-x|f（x）|＞0，
∴x[f（x）]²-x²|f（x）|＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的解法，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．