Question

【題目】已知函數(shù)（且）

（1）求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；

（2）當時，設函數(shù)，函數(shù)，

①若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

②證明：

Answer 1

【答案】（1）時函數(shù)的單調遞增區(qū)間是；時函數(shù)的單調遞增區(qū)間是;（2）①;②詳見解析．

【解析】

試題分析：（1）第一步先求，第二步討論或時，的解集；

（2）①首先得到函數(shù)，再求其導數(shù)，若恒成立，即，將問題轉化為求函數(shù)的最小值，利用導數(shù)求的最小值；

②由①知時，在上恒成立，當時等號成立，，令，累加可得結論．

試題解析：解：（1），令．

當時，解得；當時，解得，

所以時函數(shù)的單調遞增區(qū)間是；

時函數(shù)的單調遞增區(qū)間是

（2）①，由題意得，

因為，

所以當時，，單調遞減；

當時，，單調遞增；

由得，則實數(shù)的取值范圍是（分離參數(shù)法亦可）．

②由（1）知時，在上恒成立，當時等號成立，

，令，累加可得

即