Question

【題目】（2015秋運(yùn)城期中）已知函數(shù)f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）．

（1）當(dāng)x∈[1，4]時(shí)，求該函數(shù)的值域；

（2）若f（x）≤mlog2x對(duì)于x∈[4，16]恒成立，求m得取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）[﹣，1]；（2）m≥．

【解析】

試題（1）利用換元法令t=log2x，t∈[0，2]，得f（t）=（t﹣2）（t﹣），利用二次函數(shù)性質(zhì)可得f（0）≥f（t）≥f（），

進(jìn)而求出值域；

（2）由（1）可整理不等式為t+﹣3≤2m恒成立，只需求出左式的最大值即可，利用構(gòu)造函數(shù)g（t）=t+，知在（，+∞）上遞增，求出最大值．

解：令t=log2x，t∈[0，2]，

∴f（t）=（t﹣2）（t﹣）

=（t﹣2）（t﹣1），

∴f（0）≥f（t）≥f（），

∴﹣≤f（t）≤1，

故該函數(shù)的值域?yàn)閇﹣，1]；

（2）x∈[4，16]，

∴t∈[2，4]，

∴（t﹣2）（t﹣1）≤mt，

∴t+﹣3≤2m恒成立，

令g（t）=t+，知在（，+∞）上遞增，

∴g（t）≤g（4）=，

∴﹣3≤2m，

∴m≥．