Question

4．設(shè)F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$的兩個焦點(diǎn)，已知點(diǎn)P在此雙曲線上，且$∠{F_1}P{F_2}=\frac{π}{3}$．若此雙曲線的離心率等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，則點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離等于2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的方程，利用余弦定理、等面積求出P的縱坐標(biāo)，代入雙曲線方程，可得點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離．

解答 解：∵雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{2}=1$的離心率等于$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}+2}{{a}^{2}}=\frac{3}{2}$，∴a=2，c=$\sqrt{6}$．
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，則由余弦定理可得24=m²+n²-mn，∴24=（m-n）²+mn，
∴mn=16．
設(shè)P的縱坐標(biāo)為y，則由等面積可得$\frac{1}{2}×16×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}×2\sqrt{6}|y|$，
∴|y|=2$\sqrt{2}$，
代入雙曲線方程，可得|x|=2$\sqrt{5}$，
故答案為2$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查余弦定理、等面積的運(yùn)用，屬于中檔題．