【題目】若數(shù)列滿足,數(shù)列數(shù)列,記.

1)寫出一個滿足,且數(shù)列;

2)若,,證明:數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是

3)對任意給定的整數(shù),是否存在首項為0數(shù)列,使得?如果存在,寫出一個滿足條件的數(shù)列;如果不存在,說明理由.

【答案】10,1,0,10;(2)證明見解析;(3)見解析

【解析】

(1)根據(jù)可考慮寫出交替的數(shù)列.

(2)先證明必要性,根據(jù)數(shù)列是遞增數(shù)列,可得,進而求得.再證明充分性,因為,,再累加可得證明即可.

(3),則,再累加求得,再分析的奇偶,根據(jù)整除的性質(zhì),先假設存在再證明矛盾即可.

10,1,0,1,0是一個滿足條件的數(shù)列.

2)必要性:因為數(shù)列是遞增數(shù)列,

所以,

所以是首項為13,公差為1的等差數(shù)列.

所以,

充分性:由于,,

,

……

,

所以,即,

又因為,,

所以,

,即是遞增數(shù)列.

綜上所述,結(jié)論成立.

3)設,則,

因為,

,

……

,

所以

,

因為,所以為偶數(shù)(

所以為偶數(shù),

所以要使,必須使為偶數(shù),

4整除,亦即,

時,數(shù)列的項滿足,,,

此時,有成立,

時,數(shù)列的項滿足,,,時,亦有成立,

時,不能被4整除,此時不存在數(shù)列,使得成立.

練習冊系列答案
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1)已知抽取的名學生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人數(shù);

2)學校計劃在高二上學期開設選修中的物理歷史兩個科目,為了了解學生對這兩個科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的名學生進行問卷調(diào)杳(假定每名學生在這兩個科目中必須洗擇一個科目且只能選擇一個科目).下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有的把握認為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;

性別

選擇物理

選擇歷史

總計

男生

50

女生

30

總計

3)在(2)的條件下,從抽取的選擇物理的學生中按分層抽樣抽取6人,再從這6名學生中抽取2人,對物理的選課意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率.

附:,其中.

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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