Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ax﹣（a+2）lnx2，其中a∈R．

（1）當(dāng)a＝4時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值；

（2）試討論函數(shù)f（x）在（1，e）上的零點(diǎn)個數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）極大值6ln2，極小值4；（2）分類討論，詳見解析．

【解析】

（1）把a＝4代入后對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求極值；

（2）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對a進(jìn)行分類討論，確定導(dǎo)數(shù)符號，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)可求．

（1）當(dāng)a＝4時(shí)，f（x）＝4x﹣6lnx2，，x＞0，

易得f（x）在（0，），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（）上單調(diào)遞減，

故當(dāng)x時(shí)，函數(shù)取得極大值f（）＝6ln2，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得極小值f（1）＝4，

（2），

當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，f（x）＜f（1）＝a≤0，此時(shí)函數(shù)在（1，e）上沒有零點(diǎn)；

當(dāng)a≥2時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（1）＝a≥2，此時(shí)函數(shù)在（1，e）上沒有零點(diǎn)；

當(dāng)0即時(shí)，f（x）在（1，e）上單調(diào)遞減，由題意可得，，

解可得，0，

當(dāng)即時(shí)，f（x）在（1，）上單調(diào)遞減，在（）上單調(diào)遞增，

由于f（1）＝a＞0，f（e）＝a（e﹣1），

令g（a）＝f（）＝2﹣（a+2）lna+2＝（a+2）lna﹣（1+ln2）a+4﹣2ln2，

令h（a），則0，

所以h（a）在（）上遞減，h（a）＞h（2）＝1＞0，即g′（a）＞0，

所以g（a）在（）上遞增，g（a）＞g（）＝2，

即f（）＞0，

所以f（x）在（1，e）上沒有零點(diǎn)，

綜上，當(dāng)0＜a時(shí)，f（x）在（1，e）上有唯一零點(diǎn)，

當(dāng)a≤0或a時(shí)，f（x）在（1，e）上沒有零點(diǎn)．