若函數(shù)f（x）=
3
sin2x+2cos2x+m在區(qū)間[0，
π
2
]上的最大值為6，求常數(shù)m的值及此函數(shù)當x∈R時的最小值，并求相應的x的取值集合．
考點：二倍角的余弦,三角函數(shù)的最值
專題：常規(guī)題型,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：先利用兩角和的正弦公式化成標準形式，根據(jù)x的范圍求函數(shù)的最大值，然后讓最大值等于6，求出m的值；當x∈R時，根據(jù)正弦函數(shù)求函數(shù)的最小值及取到最小值時的x的值．
解答： 解：f（x）=
3
sin2x+2cos2x+m
=
3
sin2x+1+cos2x+m
=2sin（2x+
π
6
）+m+1，
∵x∈[0，
π
2
]，∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，
-
1
2
≤sin（2x+
π
6
）≤1，
所以函數(shù)f（x）的最大值為3+m，
∴3+m=6，m=3，
∴f（x）=2sin（2x+
π
6
）+4，
當x∈R時，函數(shù)f（x）的最小值為2，
此時2x+
π
6
=-
π
2
+2kπ，
即x=-
π
3
+kπ（k∈Z）時取最小值．
點評：本題考查了三角函數(shù)的最值問題，解題的關鍵是把函數(shù)解析式化成標準形式，要注意x的取值范圍．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在區(qū)間[-1，1]上求y=f（x）的值域；
（Ⅲ）在區(qū)間[a，a+1]上求y=f（x）的值域．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c是正常數(shù)，且a，b，c互不相等，x，y，z∈（0，+∞），求證：
a2
x2
+
b2
y2
+
c2
z2
≥
(a+b+c)2
x+y+z
，并指出等號成立的條件．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

把曲線ysinx-2y+3=0先沿x軸向左平移
π
2
個單位長度，再沿y軸向下平移1個單位長度，得到曲線方程是（　�。�
A、（1-y）cosx+2y-3=0
B、（1+y）sinx-2y+1=0
C、（1+y）cosx-2y+1=0
D、-（1+y）cosx+2y+1=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a∈Z，且0≤a＜13，若512013+a能被13整除，則a=（　�。�
A、1B、2C、11D、12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設α、β為不重合的兩個平面，m、n為不重合的兩條直線，給定下列四個命題：
①若m?α，n?α，m∥β，n∥β，則α∥β；
②若α∥β，m∥α，則m⊥β．
③若α⊥β，m⊥α，則m∥β；
④若a⊥β，a∩β=n，m?α，m與n不垂直，則m與β不垂直；
其中所有真命題的序號是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

函數(shù)y=log 
1
3
（-x2+3x）的單調(diào)遞減區(qū)間是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2-2mx+6在區(qū)間（-∞，-1]上為減函數(shù)，則m的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x+3）=x2-2x+3，則f（x）=
 
．

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