Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）在區(qū)間[-1，1]上求y=f（x）的值域；
（Ⅲ）在區(qū)間[a，a+1]上求y=f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用待定系數(shù)法即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可在區(qū)間[-1，1]上求y=f（x）的值域；
（Ⅲ）分別討論對稱軸和區(qū)間區(qū)間[a，a+1]的關(guān)系，即可求y=f（x）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=0，∴c=0，則f（x）=ax²+bx，
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
即（2a+b）x+a+b=2x，
則

2a+b=2 a+b=0

，解得a=2，b=-2，
即f（x）=2x²-2x．
（Ⅱ）∵f（x）=2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

，
則對稱軸為x=

1

2

，
∵x∈[-1，1]，
∴當(dāng)x=1或x=-1時，函數(shù)取得最大值f（1）=0，
當(dāng)x=

1

2

時，函數(shù)y=f（x）取得最小值-

1

2

，
故函數(shù)的值域為[-

1

2

，0]；
（Ⅲ）（Ⅱ）∵f（x）=2x²-2x=2（x-

1

2

）²-

1

2

，
則對稱軸為x=

1

2

，
則區(qū)間[a，a+1]的中點(diǎn)為x=a+

1

2

，
①若a+1≤

1

2

，即a≤-

1

2

，此時函數(shù)f（x）在[a，a+1]上為減函數(shù)，則最大值為f（a）=2a²-2a，最小值f（a+1）=2a²+2a+2，值域為[2a²-2a，2a²+2a+2]，
②若a＜a+

1

2

≤

1

2

，即a≤0，此時最大值為f（a）=2a²-2a，最小值f（

1

2

）=

1

2

，值域為[2a²-2a，-

1

2

]，
③

1

2

≤a+

1

2

≤a+1，即a≥0，此時最小值為f（

1

2

）=-

1

2

，最大值f（a+1）=2a²+2a+2，值域為[-

1

2

，2a²+2a+2]，
④若a＞

1

2

，此時函數(shù)f（x）在[a，a+1]上為增函數(shù)，則最小值為f（a）=2a²-2a，最大值f（a+1）=2a²+2a+2，值域為[2a²+2a+2，2a²-2a]．

點(diǎn)評：本題主要考查二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，利用待定系數(shù)法以及分類討論的思想是解決本題的關(guān)鍵．