Question

12．設A，B是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB=120°，則m的取值范圍是（　　）

• A． （0，1]∪[9，+∞）
• B． （0，$\sqrt{3}$]∪[9，+∞）
• C． （0，1]∪[4，+∞）
• D． （0，$\sqrt{3}$]∪[4，+∞）

Answer 1

分析 分類討論，由要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，當假設橢圓的焦點在x軸上，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{m}}$≥tan60°，當即可求得橢圓的焦點在y軸上時，m＞3，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{3}}$≥tan60°=$\sqrt{3}$，即可求得m的取值范圍．

解答 解：假設橢圓的焦點在x軸上，則0＜m＜3時，
假設M位于短軸的端點時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{m}}$≥tan60°=$\sqrt{3}$，
解得：0＜m≤1；

當橢圓的焦點在y軸上時，m＞3，
假設M位于短軸的端點時，∠AMB取最大值，要使橢圓C上存在點M滿足∠AMB=120°，
∠AMB≥120°，∠AMO≥60°，tan∠AMO=$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{3}}$≥tan60°=$\sqrt{3}$，解得：m≥9，
∴m的取值范圍是（0，1]∪[9，+∞）
故選A．

點評 本題考查橢圓的標準方程，特殊角的三角函數(shù)值，考查分類討論思想及數(shù)形結(jié)合思想的應用，考查計算能力，屬于中檔題．