Question

20．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）動直線l：y=kx+m（m≠0）交橢圓C于A，B兩點，交y軸于點M．點N是M關于O的對稱點，⊙N的半徑為|NO|．設D為AB的中點，DE，DF與⊙N分別相切于點E，F(xiàn)，求∠EDF的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先根據(jù)題中信息可得橢圓C過點（$\sqrt{2}$，1），然后結合離心率可得橢圓方程；
（Ⅱ）可將題目所求角度的最小值轉(zhuǎn)化為求角度正弦的最小值，結合題目信息可求得D、N坐標及⊙N半徑，進而將DN長度表示出來，可求∠EDF最小值．

解答 解：（Ⅰ）∵橢圓C的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，a²=2b²，
∵橢圓C截直線y=1所得線段的長度為2$\sqrt{2}$，
∴橢圓C過點（$\sqrt{2}$，1），
∴$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
∴b²=2，a²=4，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（Ⅱ）設A，B的橫坐標為x₁，x₂，
則A（x₁，kx₁+m），B（x₂，kx₂+m），D（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{k}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+m），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，
∴D（-$\frac{2km}{1+2{k}^{2}}$，$\frac{m}{1+2{k}^{2}}$），
∵M（0，m），則N（0，-m），
∴⊙N的半徑為|m|，
|DN|=$\sqrt{（\frac{m}{1+2{k}^{2}}+m）^{2}+（\frac{-2km}{1+2{k}^{2}}）^{2}}$=$\frac{|2m|}{1+2{k}^{2}}$$\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}$，
設∠EDF=α，
∴sin$\frac{α}{2}$=$\frac{EN}{DN}$=$\frac{ON}{DN}$=$\frac{m}{\frac{2m}{1+2{k}^{2}}\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$，
令y=$\frac{1+2{k}^{2}}{2\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}}$，則y′=$\frac{1}{2}$$\frac{k（4{k}^{2}+1）}{\sqrt{{k}^{4}+3{k}^{2}+1}（{k}^{4}+3{k}^{2}+1）}$，
當k=0時，sin$\frac{α}{2}$取得最小值，最小值為$\frac{1}{2}$．
∴∠EDF的最小值是60°．

點評 本題考查圓錐曲線的最值問題，重要的是能將角度的最小值進行轉(zhuǎn)化求解．