Question

設(shè)橢圓C：

x2

25

+

y2

9

=1，F(xiàn)是右焦點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)F的一條直線(xiàn)（不與y軸平行），交橢圓于A、B兩點(diǎn)，l′是AB的中垂線(xiàn)，交橢圓的長(zhǎng)軸于一點(diǎn)D，則

DF

AB

的值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：綜合題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點(diǎn)M（x₀，y₀），直線(xiàn)l的斜率為k，則l′的斜率為-

1

k

，由k=

y2-y1

x2-x1

及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，利用點(diǎn)差可得k=-

9x0

25y0

，進(jìn)而可求m=

16x0

25

，由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

（

25

4

-x₁+

25

4

-x₂）=10-

8x0

5

，代入可求．

解答： 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（m，0），AB 的中點(diǎn)M（x₀，y₀），直線(xiàn)l的斜率為k，
則l′的斜率為-

1

k

則x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，k=

y2-y1

x2-x1

由題意A、B兩點(diǎn)，代入橢圓，兩式相減，整理可得，k=-

9x0

25y0

又∵-

1

k

=

y0

x0-m

∴-

9x0

25y0

•

y0

x0-m

=-1
∴m=

16x0

25

，|DF|=|4-

16x0

25

|
∵e=

4

5

，右準(zhǔn)線(xiàn)x=

25

4

，過(guò)A，B分別向右準(zhǔn)線(xiàn)作垂線(xiàn)，垂足分別為E，G
由橢圓的第二定義可知，|AB|=|AF|+|BF|=

4

5

（

25

4

-x₁+

25

4

-x₂）=10-

8x0

5

∴

DF

AB

=

2

5

．
故答案為

2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線(xiàn)與橢圓的相交關(guān)系的應(yīng)用，橢圓的第二定義的應(yīng)用點(diǎn)差法的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵